Ιππασος: Ο μαθητής που… πρόδωσε τον Πυθαγόρα και βρήκε τον πρώτο άρρητο αριθμό

Ήταν ίσως ο καλύτερος μαθητής που φοίτησε ποτέ στη σχολή του Πυθαγόρα. Την ίδια στιγμή όμως ήταν και αυτός που κατάφερε να καταρρίψει τους Πυθαγόρειους, ανοίγοντας ένα νέο, πολύ σημαντικό κεφάλαιο για τα μαθηματικά.

Η διάσημη σχολή του Πυθαγόρα – Οι «θεϊκοί» αριθμοί και ελλιπής εξήγηση του κόσμου
Οι Πυθαγόρειοι δεν ήταν μια αμιγώς επιστημονική ομάδα. Για την ακρίβεια, η βασικές ανησυχίες τους κυμαίνονταν γύρω από την φιλοσοφία και την θρησκεία. Τα μαθηματικά ωστόσο κατείχαν την ύψιστη θέση στην διαμόρφωση της ιδεολογίας τους.
Οι αριθμοί για τον Πυθαγόρα και τους μαθητές του, ήταν κάτι το θεϊκό. Δεν ήταν απλοί συμβολισμοί που διευκολύνουν τον άνθρωπο να μετράει και να υπολογίζει. Ηταν κάτι ανώτερο από τον υλικό κόσμο, στον οποίο έβρισκαν εφαρμογή. Κάτι που άνηκε στη σφαίρα του ιδεατού και μόνο μέσα από την βαθύτατη νόηση γινόταν προσιτό. Σύμφωνα με τους Πυθαγόρειους, ολόκληρο το σύμπαν ήταν αποτέλεσμα των αριθμών και της γεωμετρίας. Ωστόσο, από τον αρχαίο Ελληνα μαθηματικό και από όσους φοίτησαν στο Ομακοείον (το κτίριο ομαδικής διδασκαλίας των Πυθαγόρειων στην Κρότωνα της Ιταλίας) είχαν… ξεφύγει οι περισσότεροι αριθμοί. Στην σκέψη των μαθηματικών της εποχής, όλοι οι αριθμοί μπορούσαν να εκφραστούν ως κλάσματα δύο ακεραίων. Για τους Πυθαγόρειους δε, τα πάντα στον κόσμο ισοδυναμούσαν με έναν αντίστοιχο (ρητό) αριθμό. Αν αυτό ίσχυε όμως, ποιο ρόλο έχουν οι άρρητοι, που μάλιστα είναι και ασύγκριτα περισσότεροι.
Ο άνθρωπος που κατέρριψε όλα όσα πίστευαν οι Πυθαγόρειοι
Το μαθηματικό τμήμα της Πυθαγόρειας σχολής, ήταν ένα από τα πιο προηγμένα της εποχής. Το πασίγνωστο Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι το πλέον χαρακτηριστικό παράδειγμα. Αν και οι ιστορικοί κατά καιρούς έχουν εκφράσει αμφιβολίες για τον «πατέρα» του θεωρήματος, είναι αποδεδειγμένο πως ανακαλύφθηκε την εποχή που η σχολή του Πυθαγόρα άκμαζε. Μάλιστα, συγγραφείς όπως ο Ευκλείδης και ο Κικέρων αποδίδουν με σιγουριά το επίτευγμα στον σπουδαίο μαθηματικό.
Ιδρυτής του μαθηματικού τμήματος στο Ομακοείον ήταν ο Ιππασος, ένας από τους σημαντικότερους μαθητές του Πυθαγόρα και αυτός που έμελε να καταρρίψει συθέμελα όσες ιδέες είχαν «οικοδομηθεί» μέσα στην σχολή που διακρίθηκε. Το εργαλείο του; Το θεώρημα που έκανε πασίγνωστο τον Πυθαγόρα!
Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο των δύο κάθετων πλευρών ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Αν οι δύο κάθετες πλευρές ισούνται με 1 όμως, τότε η υποτείνουσα έχει μήκος ίσο με την ρίζα του 2. Αυτός ο αριθμός είχε προβληματίσει τους Πυθαγόρειους, χωρίς όμως να κλονίσει την αμετάκλητη πεποίθηση τους, πως υπάρχει κάποιος ισοδύναμος ρητός που να ισούται με την ρίζα του 2. Αλλωστε, οι Πυθαγόρειοι αντιλαμβάνονταν πως υπάρχουν πάρα πολλοί ρητοί και ως εκ τούτου, η ρίζα που έψαχναν μπορεί να… κρυβόταν πίσω από κάποιους πολύ μεγάλους αριθμούς.

Ο Ιππασος όμως δεν μπορούσε να αφήσει μια ρίζα να τον… νικήσει. Προσπάθησε να αποδείξει πως ισούται με κάποιον αριθμό, αλλά κατάφερε να δείξει πως αυτός ο αριθμός δεν ήταν ρητός! Η Πυθαγόρεια φιλοσοφία δέχτηκε ένα αγιάτρευτο πλήγμα. Ενας αριθμός που δεν είναι ρητός, δεν μπορούσε να χωρέσει στην σκέψη των Πυθαγόρειων. Ολο τους το σύμπαν, ήταν φτιαγμένο από κλάσματα, μην αφήνοντας χώρο σε… παράλογους αριθμούς που τα δεκαδικά τους δεν έχουν σταματημό. Ο ιδρυτής του μαθηματικού τμήματος της Πυθαγόρειας Σχολής, ήταν ο μεγαλύτερος προδότης που πάτησε ποτέ το πόδι του μέσα στους χώρους του επιβλητικού της κτιρίου. Παρόλα αυτά η απόδειξη του ήταν απόλυτα σωστή και αυτό έγινε άμεσα αντιληπτό από τον Πυθαγόρα. Η σχολή πλέον είχε δύο επιλογές. Να κλείσει ή θα «θάψει» την καταστροφική απόδειξη. Τελικά οι Πυθαγόρειοι επέλεξαν το δεύτερο, κατηγορώντας τον Ιππασο για μέγιστη προδοσία και πνίγοντας τον στην θάλασσα. Ο Ιππασος έχασε την ζωή του, όμως η ρίζα του 2 διατηρήθηκε «ζωντανή», ως ο πρώτος άρρητος αριθμός στην ιστορία των μαθηματικών. Οπως οι ίδιοι οι Πυθαγόρειοι υποστήριζαν μάλιστα, οι αριθμοί υπάρχουν στην σφαίρα του ιδεατού, όχι μόνο εκεί που μας… χρησιμεύουν.
Κάπως έτσι, γράφτηκε η πρώτη σελίδα στο τεράστιο κεφάλαιο των αρρήτων αριθμών, οι οποίοι εκ των υστέρων αποδείχθηκαν πολύ περισσότεροι από τους ρητούς. Για την ακρίβεια, αν μπορούσαμε να επιλέξουμε έναν οποιοδήποτε αριθμό στην τύχη, τότε η πιθανότητα αυτός ο αριθμός να είναι ρητός είναι σχεδόν μηδενική!

Η απόδειξη που έμεινε στην ιστορία
Η απόδειξη του Ιππασου αναφέρεται από τον Αριστοτέλη ως χαρακτηριστικό παράδειγμα χρήσης της «προς άτομο απαγωγής». Ποιος όμως ήταν ο συλλογισμός του μαθηματικού;

Υπέθεσε ότι ο a/b είναι ρητός αριθμός με την ιδιότητα a2/b2 =2. Οι αριθμοί a και b είναι πρώτοι μεταξύ τους, γιατί πολύ απλά αν είχαν κοινό διαιρέτη τότε αυτός θα απλοποιούταν από το κλάσμα (πχ. Το 4/12 γράφεται ως 1/3) Οπότε καταλήγουμε στην σχέση a2=2b2.

Συνεπώς το a, επειδή έχει άρτιο τετράγωνο, είναι άρτιος αριθμός. Αρα, a = 2m και από αυτό έπειται ότι 4m2 = b2. Αρα b2 = 2m2. Αρα ο b είναι άρτιος, όπως και ο a.

Από την στιγμή που ισχύει ότι a και b είναι άρτιοι όμως, έχουν κοινό διαιρέτη το 2. Αυτό είναι άτοπο, αφού η υπόθεση λέει το αντίθετο. Αρα το ρίζα 2 δεν μπορεί να είναι ρητός!